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《高等数学（下）》核心考点分级与必考模板题全解

注意：考点分析及解题模板均由AI生成，需自行审查。

核心考点分级与解题套路

本节将所有考点分为三个梯队，并提供各考点的详细解题思路。

第一梯队：核心高分考点 (每年必考，分值占比最高)

多元函数积分学

例题索引 二重积分: 2022-23 Q3, 2019-20 Q17; 三重积分: 2022-23 Q17(2), 2020-21 Q6; 交换次序: 2021-22 Q13.
解题套路 1. 分析积分区域：首先画出积分区域 $D$ (二重积分) 或 $\Omega$ (三重积分) 的草图，这是最关键的一步。 2. 选择坐标系： * 二重积分: 如果积分区域是矩形或由直线、抛物线围成，优先考虑直角坐标。如果区域涉及圆形、扇形、环形，果断选择极坐标。 * 三重积分: 如果积分区域是长方体、棱柱，用直角坐标。如果区域涉及圆柱、圆锥、旋转抛物面，用柱面坐标。如果区域涉及球面、球体、圆锥体，用球面坐标。 3. 定积分限： * 直角坐标: 确定 $x$ 和 $y$ 的积分顺序。例如，选择"先 $y$ 后 $x$" (X-型区域)，则需要找到 $y$ 的上下界函数 $y_{lower}(x)$, $y_{upper}(x)$ 和 $x$ 的常数范围 $[a, b]$。 $$ \iint_D f(x,y) dxdy = \int_a^b dx \int_{y_{lower}(x)}^{y_{upper}(x)} f(x,y) dy $$ * 极坐标: 坐标变换 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$，面积微元 $dA = rdrd\theta$。从原点引出射线，确定 $r$ 的范围 $r_{inner}(\theta), r_{outer}(\theta)$ 和 $\theta$ 的常数范围 $[\alpha, \beta]$。 $$ \iint_D f(x,y) dxdy = \int_\alpha^\beta d\theta \int_{r_{inner}(\theta)}^{r_{outer}(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r dr $$ * 柱面/球面坐标: 进行坐标变换并替换体积微元 $dV$ ($rdrd\theta dz$ 或 $\rho^2\sin\phi d\rho d\phi d\theta$)，然后确定新坐标的积分限。 4. 计算定积分：按部就班计算，注意计算的准确性。

曲线积分与曲面积分

例题索引 第二类曲线(格林公式): 2022-23 Q18, 2019-20 Q6; 第二类曲面(高斯公式): 2022-23 Q14, 2019-20 Q18; 第一类: 2022-23 Q4, Q8.
解题套路 1. 识别积分类型： * 第一类 (对弧长/面积的积分): 积分微元是 $ds$ 或 $dS$。 * 第二类 (对坐标的积分): 积分微元是 $dx, dy, dz$ 或 $dydz, dzdx, dxdy$。 2. 选择计算方法： * 直接法 (参数方程法): 1. 将曲线/曲面用参数方程表示：$L: \mathbf{r}(t)$, $\Sigma: \mathbf{r}(u,v)$。 2. 计算相应的微分元：$ds = ||\mathbf{r}'(t)|| dt$, $d\mathbf{S} = (\mathbf{r}_u' \times \mathbf{r}_v') du dv$。 3. 将所有变量替换为参数，转化为定积分或二重积分进行计算。 * 公式法 (核心考点): 1. 格林公式: 用于计算平面闭合曲线上的第二类曲线积分。 $$ \oint_L Pdx + Qdy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy $$ (注意 $L$ 的正方向是逆时针) 2. 高斯公式: 用于计算空间封闭曲面上的第二类曲面积分。 $$ \oiint_\Sigma P dydz + Q dzdx + R dxdy = \iiint_\Omega \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV $$ (注意 $\Sigma$ 的正方向是外侧) 3. 斯托克斯公式: 将空间闭合曲线上的第二类曲线积分与穿过该曲线所张曲面的第二类曲面积分联系起来。

常微分方程

例题索引 二阶常系数非齐次: 2022-23 Q16, 2020-21 Q2; 一阶线性: 2022-23 Q10.
解题套路 (详见模板题1)

无穷级数

例题索引 敛散性判别: 2022-23 Q19, 2019-20 Q19; 幂级数收敛域: 2021-22 Q20; 函数展开: 2022-23 Q15.
解题套路 1. 数项级数敛散性: * 正项级数: 首先用比值法或根值法。若极限 $\rho < 1$ 收敛, $\rho > 1$ 发散, $\rho=1$ 方法失效。失效时考虑与p-级数($\sum 1/n^p$)进行比较判别或极限比较判别。 * 交错级数: 使用莱布尼兹判别法。若通项 $u_n \to 0$ 且单调递减，则级数收敛。 * 任意项级数: 先考察绝对值级数 $\sum |a_n|$ 是否收敛。若收敛，则原级数绝对收敛。若 $\sum |a_n|$ 发散，但原级数（通常是交错级数）收敛，则原级数条件收敛。 2. 幂级数: (详见模板题3) 3. 函数展开为幂级数: * 记住五个基本展开式: $e^x, \sin x, \cos x, \ln(1+x), \frac{1}{1-x}$。 * 通过变量代换、四则运算、逐项求导、逐项积分等方法，将目标函数转化为基本形式进行展开。

第二梯队：重点常规考点 (分值较高，几乎每年出现)

多元函数微分学

例题索引 偏导数: 2022-23 Q13; 极值: 2022-23 Q20 (模板题4); 切平面: 2022-23 Q7; 方向导数与梯度: 2022-23 Q2.
解题套路 * 求偏导数: 将其他变量视为常数，对目标变量求导。对于复合函数，使用链式法则。对于隐函数 $F(x,y,z)=0$，使用公式 $z_x' = -F_x'/F_z'$。 * 求极值: (详见模板题4)。 * 求切平面与法线: 曲面 $F(x,y,z)=0$ 在点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 的法向量为 $\mathbf{n} = (F_x', F_y', F_z')|_{M_0}$。 * 切平面方程: $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$ * 法线方程: $\frac{x-x_0}{A} = \frac{y-y_0}{B} = \frac{z-z_0}{C}$ * 求方向导数与梯度: * 梯度: $\text{grad } u = \nabla u = (\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z})$。梯度方向是函数增长最快的方向。 * 方向导数: 函数 $u$ 沿方向 $\mathbf{l}$ (单位向量) 的方向导数为 $\frac{\partial u}{\partial l} = \nabla u \cdot \mathbf{l}$。 * 最大方向导数: 就是梯度的模 $||\nabla u||$，方向为梯度方向。

空间解析几何

例题索引 平面方程: 2022-23 Q11; 点面距离: 2022-23 Q1; 曲面方程: 2019-20 Q2.
解题套路 * 平面方程: 关键是找到一点和一个法向量 $\mathbf{n}=(A,B,C)$。 * 直线方程: 关键是找到一点和一个方向向量 $\mathbf{s}=(l,m,n)$。 * 常见问题: * 过三点求平面: 由三点构造两个向量，叉乘得到法向量。 * 点到平面距离: $d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$。 * 向量运算: 熟练掌握点积（求夹角、判断垂直）和叉积（求法向量）。

第三梯队：基础概念考点 (分值不高，但频繁出现)

傅里叶级数

例题索引 收敛定理: 2022-23 Q5, 2021-22 Q15; 系数: 2020-21 Q10.
解题套路 (详见模板题5)

多元函数极限

例题索引 2022-23 Q12, 2021-22 Q11.
解题套路 1. 代入法: 若代入后分母不为0，直接计算。 2. 等价无穷小替换: 将分子分母中的项替换为等价无穷小，如 $\sin(t) \sim t$, $1-\cos(t) \sim t^2/2$, $\ln(1+t) \sim t$ 当 $t \to 0$。 3. 极坐标法: 令 $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，将极限转化为 $r \to 0$ 的极限。如果计算结果与 $\theta$ 无关，则极限存在；若与 $\theta$ 有关，则极限不存在。 4. 不同路径法 (证明极限不存在): 沿 $y=kx$ 或 $y=kx^2$ 等不同路径趋近于原点，若得到的结果依赖于 $k$，则极限不存在。

核心必考模板题详解

模板题 1：二阶常系数线性非齐次微分方程

题目形式 $y'' + py' + qy = f(x)$
例题索引 2022-23 Q16; 2020-21 Q2.
解题模板 1. 求齐次通解 $y_c$： 1. 写出特征方程: $r^2 + pr + q = 0$。 2. 解出特征根 $r_1, r_2$。 3. 根据根的情况写出 $y_c$: * 不等实根 $r_1 \neq r_2$: $y_c = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$ * 相等实根 $r_1 = r_2 = r$: $y_c = (C_1 + C_2x)e^{rx}$ * 共轭复根 $a \pm ib$: $y_c = e^{ax}(C_1\cos(bx) + C_2\sin(bx))$ 2. 求非齐次特解 $y_p$ (待定系数法): 1. 设特解形式: 根据 $f(x)$ 的形式假设 $y_p$。 * 若 $f(x) = P_n(x)e^{\alpha x}$，设 $y_p = x^k Q_n(x)e^{\alpha x}$。$Q_n(x)$是与$P_n(x)$同次的一般多项式。$k$ 是 $\alpha$ 作为特征方程根的重数（不是根则$k=0$，单根$k=1$，重根$k=2$）。 * 若 $f(x) = e^{\alpha x}[P_l(x)\cos(\beta x) + P_m(x)\sin(\beta x)]$，设 $y_p = x^k e^{\alpha x}[Q_N(x)\cos(\beta x) + R_N(x)\sin(\beta x)]$。$N=\max(l,m)$。$k$ 是 $\alpha \pm i\beta$ 作为特征根的重数。 2. 定系数: 将 $y_p$ 代入原方程，比较两边同类项系数，解出待定系数。 3. 写出通解：最终通解 $y = y_c + y_p$。

模板题 2：利用格林/高斯公式计算积分

题目形式 计算第二类闭合线/面积分。
例题索引 格林: 2022-23 Q18, 2019-20 Q6; 高斯: 2022-23 Q14, 2019-20 Q18.
解题模板 1. 判断适用性: 检查积分路径/曲面是否封闭。若是，则公式法是首选。 2. 格林公式 $\oint_L Pdx + Qdy$: 1. 确认路径 $L$ 为逆时针方向，若为顺时针，结果加负号。 2. 识别 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$。 3. 计算 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$。 4. 转化为二重积分: $\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy$，其中 $D$ 是 $L$ 围成的区域。 5. 计算该二重积分。 3. 高斯公式 $\oiint_\Sigma P dydz + Q dzdx + R dxdy$: 1. 确认曲面 $\Sigma$ 为外侧，若为内侧，结果加负号。 2. 识别 $P, Q, R$。 3. 计算散度: $\text{div}(\mathbf{F}) = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$。 4. 转化为三重积分: $\iiint_\Omega (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}) dV$，其中 $\Omega$ 是 $\Sigma$ 围成的体。 5. 计算该三重积分。

模板题 3：求幂级数的收敛域

题目形式 $\sum_{n=1}^\infty a_n (x-x_0)^n$
例题索引 2021-22 Q20, 2020-21 Q20.
解题模板 1. 求收敛半径 $R$： 1. 计算极限 $\rho = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$ (或 $\rho = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$)。 2. 收敛半径 $R = \frac{1}{\rho}$ (若 $\rho=0, R=\infty$; 若 $\rho=\infty, R=0$)。 2. 确定开区间：收敛区间为 $(x_0 - R, x_0 + R)$。 3. 讨论端点： 1. 将左端点 $x = x_0 - R$ 代入原级数，得到一个数项级数，判断其敛散性。 2. 将右端点 $x = x_0 + R$ 代入原级数，得到另一个数项级数，判断其敛散性。 4. 写出收敛域：根据端点的敛散情况，写出最终的收敛域（开、闭或半开半闭区间）。

模板题 4：求二元函数的无条件极值

题目形式 求 $z = f(x,y)$ 的极值。
例题索引 2022-23 Q20, 2019-20 Q20.
解题模板 1. 求驻点: 1. 计算一阶偏导数 $f_x(x,y)$ 和 $f_y(x,y)$。 2. 联立方程组 $\begin{cases} f_x(x,y) = 0 \\ f_y(x,y) = 0 \end{cases}$，解出所有驻点 $(x_k, y_k)$。 2. 二阶导数判别: 1. 计算二阶偏导数: $A = f_{xx}(x,y)$, $B = f_{xy}(x,y)$, $C = f_{yy}(x,y)$。 2. 对于每个驻点，计算判别式 $\Delta = AC - B^2$ 的值。 3. 下结论: * 若在 $(x_k, y_k)$ 处, $\Delta > 0$ 且 $A > 0$，则为极小值。 * 若在 $(x_k, y_k)$ 处, $\Delta > 0$ 且 $A < 0$，则为极大值。 * 若在 $(x_k, y_k)$ 处, $\Delta < 0$，则不是极值 (为鞍点)。 * 若在 $(x_k, y_k)$ 处, $\Delta = 0$，则方法失效，需另行讨论 (考试中罕见)。

模板题 5：傅里叶级数的收敛性 (狄利克雷定理)

题目形式 给定周期函数 $f(x)$，求其傅里叶级数在 $x=x_0$ 处的收敛值。
例题索引 2022-23 Q5, 2021-22 Q15.
解题模板 1. 定位 $x_0$：找到点 $x_0$ 在一个周期内的位置。 2. 判断连续性: 1. 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则傅里叶级数收敛于该点的函数值 $f(x_0)$。 2. 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处为跳跃间断点，则傅里叶级数收敛于该点左右极限的平均值。 $$ S(x_0) = \frac{f(x_0^-) + f(x_0^+)}{2} = \frac{\lim_{x \to x_0^-} f(x) + \lim_{x \to x_0^+} f(x)}{2} $$ 3. 注意区间端点: 对于定义在 $[-\pi, \pi]$ 上的函数，其在端点 $x=\pm\pi$ 处的收敛值通常是 $\frac{f(-\pi^+) + f(\pi^-)}{2}$。