跳转至

额外说明及文件下载

README.md

题目解析

题目一

用精度为 \(1'\) 的分光计测量三棱镜的顶角 \(A\)，共测 8 次，其测得值分别为 \(60^\circ24'\), \(60^\circ25'\), \(60^\circ26'\), \(60^\circ30'\), \(60^\circ31'\), \(60^\circ32'\), \(60^\circ31'\), \(60^\circ25'\)。设已定系统误差为 \(4'\)，测顶角时，仪器误差限 \(\Delta_{ins}\) 为 \(2'\)，试写出顶角测量结果 \(A = \bar{A} \pm \Delta\)。

解析

  1. 先求算术平均值

将所有测量值转换为分钟后求和：

\(3624 + 3625 + 3626 + 3630 + 3631 + 3632 + 3631 + 3625 = 29024\,\text{分}\)

算术平均值为：

\(\overline{A}_\text{测} = \frac{29024}{8} = 3628\,\text{分}\)

换算回度分制得到：

\(\overline{A}_\text{测} = 60^\circ28'\)

  1. 对已定系统误差 4′ 的修正

\(A_{\text{修正}} = \overline{A}_\text{测} - 4' = 60^\circ24'\)

  1. 计算不确定度

仅考虑随机误差 \(\Delta_{random}\) 与仪器误差限 \(\Delta_{ins}\)。

  • 随机误差由标准偏差估计：

    \(\Delta_{random} = \frac{s}{\sqrt{n}}, \quad s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}, \quad n = 8\)

    计算偏差平方和：\(\sum (x_i - \bar{x})^2 = 76\)

    因此 \(s = \sqrt{\frac{76}{7}} \approx 3.294'\), 从而 \(\Delta_{random} = \frac{3.294'}{\sqrt{8}} \approx 1.165'\)

  • 仪器误差限：\(\Delta_{ins} = 2'\)

  • 合成不确定度：

\[ \begin{aligned} \Delta &= \sqrt{(\Delta_{random})^2 + (\Delta_{ins})^2} \\ &= \sqrt{(1.165')^2 + (2')^2} \\ &= \sqrt{5.357} \approx 2' \end{aligned} \]

最终结果：

\[ A = 60^\circ24' \pm 2' \]

题目二

已知长方体质量 \(m = (1260.5 \pm 0.6) \; g\)，长宽高分别为 \(a = (8.25 \pm 0.02) \; cm\)，\(b = (6.65 \pm 0.03) \; cm\)，\(c = (10.87 \pm 0.06) \; cm\)。分别写出体积 \(V = \bar{V} \pm \Delta\) 和密度 \(\rho = \bar{\rho} \pm \Delta\) 的测量结果。

解析

首先计算体积：

\[ \bar{V} = a \cdot b \cdot c = 8.25\,cm \times 6.65\,cm \times 10.87\,cm \approx 596.3\,cm^3 \]

乘积的相对不确定度为：

\[ \frac{\Delta V}{V} \approx \sqrt{\left(\frac{0.02}{8.25}\right)^2 + \left(\frac{0.03}{6.65}\right)^2 + \left(\frac{0.06}{10.87}\right)^2} \approx 0.00753 \]

因此绝对不确定度：

\[ \Delta V \approx 596.3 \times 0.00753 \approx 4.5\,cm^3 \]

体积结果可写为：

\[ V = (596.3 \pm 4.5)\,cm^3 \]

接下来计算密度：

\[ \bar{\rho} = \frac{m}{V} \approx \frac{1260.5\,g}{596.3\,cm^3} \approx 2.11\,g/cm^3 \]

质量的相对不确定度为 \(\frac{0.6}{1260.5} \approx 0.00048\)，体积的相对不确定度约为 \(0.00753\)，由除法的不确定度传播公式得到：

\[ \frac{\Delta \rho}{\rho} \approx \sqrt{(0.00048)^2 + (0.00753)^2} \approx 0.00754 \]

于是：

\[ \Delta \rho \approx 2.11 \times 0.00754 \approx 0.016\,g/cm^3 \]

最终结果：

  1. 体积：\(V = (596.3 \pm 4.5)\,cm^3\)
  2. 密度：\(\rho = (2.11 \pm 0.016)\,g/cm^3\)

文件列表