题目、解析及其他文件
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题目一
用精度为 \(1'\) 的分光计测量三棱镜的顶角 \(A\)，共测 8 次，其测得值分别为
\(60^\circ24'\), \(60^\circ25'\), \(60^\circ26'\), \(60^\circ30'\), \(60^\circ31'\), \(60^\circ32'\), \(60^\circ31'\), \(60^\circ25'\)。
设已定系统误差为 \(4'\)，测顶角时，仪器误差限 \(\Delta_{ins}\) 为 \(2'\)，试写出顶角 \(A\) 测量结果 \(A = \bar{A} \pm \Delta\)。
解析
-
先求算术平均值
先把它们都转化为分钟形式后再加总除以 8，得到平均值：
\(3624+3625+3626+3630+3631+3632+3631+3625 \;=\; 29024\,(\text{分})\)
\(\overline{A}_\text{测} \;=\;\frac{29024}{8} \;=\;3628\,(\text{分})\)
转换回度分制：
\(\overline{A}_{\text{测}} \;=\; 60^\circ28'\) -
对已定系统误差 4′ 的修正
\(A_{\text{修正}} \;=\; \overline{A}_{\text{测}} \;-\; 4'\)
因此得到
\(A_{\text{修正}} = 60^\circ28' - 4' = 60^\circ24'\) -
计算不确定度
由于系统误差已修正，我们只需考虑修正后测量值的随机误差\(\Delta_{random}\)和仪器误差限\(\Delta_{ins}\)。
(1) 随机误差 \(\Delta_{random}\)
随机误差可以通过测量值的标准偏差估计：
\(\Delta_{random} = \frac{s}{\sqrt{n}}\)
其中 \(s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}\) 是修正后测量值的标准偏差，\(n = 8\) 是测量次数。
这里 \(\bar{x} = A_{\text{修正}}\)，计算各测量值与平均值的偏差平方和并求和：
\(\sum (x_i - \bar{x})^2 = 16 + 9 + 4 + 4 + 9 + 16 + 9 + 9 = 76\)
标准偏差：
\(s = \sqrt{\frac{76}{8 - 1}} = \sqrt{\frac{76}{7}} \approx \sqrt{10.857} \approx 3.294'\)
标准误差：
\(\Delta_{random} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{3.294'}{\sqrt{8}} \approx \frac{3.294}{2.828} \approx 1.165'\)
(2) 仪器误差 \(\Delta_{ins}\)
由于系统误差已单独给出并修正，我们假设 \(\Delta_{ins} = 2'\) 是额外的系统性不确定度，对平均值直接贡献 \(2'\)。
(3) 总不确定度 \(\Delta\)
最终答案：
将系统误差扣除后的修正值作为测量值，并结合上一步得到的不确定度：
题目二
已知长方体质量 \(m = (1260.5 \pm 0.6) \; g\)，长宽高分别为：
\(a = (8.25 \pm 0.02) \; cm\)，
\(b = (6.65 \pm 0.03) \; cm\)，
\(c = (10.87 \pm 0.06) \; cm\)，
分别写出间接测量结果：
(1) 体积 \(V = \bar{V} \pm \Delta\)
(2) 密度 \(\rho = \bar{\rho} \pm \Delta\)
解析
首先计算长方体的体积：
由乘积的不确定度传播公式，其相对不确定度为：
从而绝对不确定度为：
因此体积结果可写为：
接下来求密度：
质量的相对不确定度为 \(\frac{0.6}{1260.5}\approx0.00048\)，体积的相对不确定度约为 \(0.00753\)，由除法的不确定度传播公式可得：
故
综上，密度写为：
最终结果为：
- 体积：\(V=(596.3\pm4.5)\;cm^3\)
- 密度：\(\rho=(2.11\pm0.016)\;g/cm^3\)